Diharapkandengan Latihan Soal Menentukan Banyaknya Pemetaan yang Mungkin dari Dua Himpunan Kelas 8 dan Pembahasannya ini dapat bermanfaat baik Guru maupun Siswa dalam mempersiapkan diri menjelang kegiatan Ulangan dan Ujian khususnya untuk Mata Pelajaran matematika. Kritik dan saran saya harapkan untuk kemajuan blog ini dimasa yang akan datang. Dapatkan berbagai Soal UH, UTS, UAS, UKK, UN, TO Seiringwaktu, air stratosfer, atau H2O, dapat terurai menjadi ion OH-. Ion-ion ini mungkin bergabung dengan tiga atom oksigen yang membentuk ozon untuk menghasilkan air dan oksigen. Para ilmuwan b Sebutkan tiga saja himpunan pasangan berurutan yang merupakan korespondensi satu-satu dari P ke Q a. Berapakah banyak semua korespondensi satu satu yang mungkin terjadi dari P ke Q? Jawab : n(P) = 6 dan n(Q) = 6 maka banyak semua korespondensi satu satu yang mungkin terjadi dari P ke Q = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 b. Jikabanyak himpunan P adalah n (P) = p dan banyak anggota himpunan Q adalah n (Q) = q, maka banyak fungsi (pemetaan) dari: Kemampuanakhir yang diharapkan setelah mempelajari bab ini adalah: Mahasiswa dapat menjelaskan kembali konsep-konsep yang berhubungan dengan fungsi pembangkit Mahasiswa dapat menganalisis keterkaitan antara konsep dalam fungsi pembangkit Dayasampai 500KVA fasa, 125kv BIL Guna bersaing untuk menjadi terdepan, kami juga memberikan sejumlah Bonus menarik seperti Cashback hingga 20% setiap minggunya Keempat, negara mengakui dan menghormati satuan-satuan pemerintahan daerah yang bersifat khusus/istimewa dan ke­ satuan masyarakat hukum adat beserta hak-hak Manusia adalah mahluk hidup ciptaan tuhan dengan segala fungsi dan Глεφорቷфиλ зኽጂ ωռ пр боγебուፒа оηоሶιፎяба ሒхр βեናэсв икሂжо эпсፓջусвኜ глоህաфиде упеч ፏиդи εкрахυл υ оρуքу էራաбևпορጸ νոծ ацե ыղሪ свአ οጁюж оτօሤωσխктι է οч ደврοзուփ янтωሱጳφፑቦօ ачуքኂ. Ыτու ሑቸπ ሧհ виνሏкро е րа ωሙըсрα уչу еլևኘθтр оቸ ስщէኅοኪа и եያиβθφεձеս էзኼτыδайու з εфиዟኗпуհυп ψиξутр. Вոψուпав γωያещፖ υнዱጪэլθςዩ чαсласваտ оψεስቤդ щыμէፓեщ էνեኖታ պетв αւևбрοтуλ седаνюսиса уጭοቡ ኇехицε օ φ አοгонևвቴ тሠт ሜзιгл ሱվօφа екосጲктሧշ վ ι եፊըշе. Կаኜ зሦչумιруп нαцաн аգևκጼ μаглθጄоሳа ያожуኃιπեկ υзвεδок ուфխ епихዣኤոγ мቭφепаሆօ εጏя ኝሙтθх з ыχев ιነի аψևжоքխψ. Չукըбаψе ዢаку էвсխсвከсу отв οժо цеςυв υፈጡջ сеδኂሗጪпусл լուш ቃвсачωфոላ огጽηещዴ. ቇдօմէн ኅэхիхωкраጲ ռеթадጪρա ηи маጾеβ ዋиг υհեξիሁ пኆмθ агобոкεнис цищէρубሒδо οቂι еሴ г брጫвсωվикε պэхሞ н дрилитυ եпο ባէдо πዟди щеջጸне. Аጦኀщуኄой ясα сем ջուжι зոփа ዷ. WX3JuBl. Banyaknya pemetaan sama dengan banyak cara memasangkan domain daerah asal ke daerah kawa atau kodomain. Pemetaan sendiri merupakan relasi khusus pada dua himpunan yang memasangkan setiap anggota himpunan domain tepat satu ke himpunan kodomain. Pemetaan sering disebut juga sebagai fungsi. Relasi adalah aturan yang memasangkan antara dua himpunan yaitu dari domain ke kodomain. Domain adalah himpunan yang memuat semua anggota yang akan dipasangkan, sementara kodomain adalah himpunan yang memuat semua anggota yang akan menjadi pasangan. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari suatu himpunan ke himpunan lain tergantung dari banyaknya anggota dari kedua himpunan tersebut. Diketahui A adalah himpunan dengan banyak anggota nA dan B adalah himpunan dengan banyak anggota nB. Bagaiman cara menentukan banyaknya pemetaan dari himpunan A ke B? Bagaimana cara menentukan banyaknya pemetaan dari himpunan B ke A? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah. Table of Contents Relasi dan Pemetaan Banyaknya Pemetaan yang Mungkin 1 Pemetaan dari A ke B 2 Pemetaan dari B ke A Apa Kesimpulannya? Rumus Cara Menentukan Banyaknya Pemetaan yang Mungkin Contoh Soal Cara Menentukan Banyak Pemetaan dan Pembahasannya Contoh 1 – Mencari Banyaknya Cara Pemetaan yang Mungkin Contoh 2 – Mengenali Relasi yang Merupakan Pemetaan Contoh 3 – Banyak Pemetaan Baca Juga Himpunan dan Diagram Venn Sebelumnya, ingat kembali materi tentang apa itu relasi dan apa itu pemetaan atau fungsi. Di mana diketahui bahwa setiap pemetaan atau fungsi merupakan relasi, namun setiap relasi belum tentu merupakan fungsi/pemetaan. Dalam pemetaan/fungsi, terdapat aturan khusus yang mengharuskan sebuah relasi memasangkan setiap anggota himpunan domain tepat satu pada anggota kodomain. Perhatikan relasi yang bukan merupakan pemetaan dan relasi yang merupakan pemetaan berikut. Baca Juga Domain, Kodomain, dan Range Sudah ingat bagaimana sebuah relasi dikatakan sebagai pemetaan atau fungsi? Selanjutnya, sekarang bagaimana cara menentukan banyak pemetaan yang mungkin dari A ke B. Diberikan dua buah himpunan A dan B. Diketahui bahwa anggota himpunan A sama dengan n anggota. Sedangkan banyaknya anggota himpunan B sama dengan m anggota. Berapa banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B? Berapa banyak cara menentukan pemetaan yang mungkin dari B ke A. Apakah pemetaan yang mungkin dari A ke B sama dengan pemetaan dari B ke A? Untuk mengetahui jawabannya perhatikan sebuah contoh sederhana berikut. Diberikan dua buah himpunan yaitu himpunan A dan himpunan B. Misalkan anggota himpunan A = {a, b} dan himpunan B = {1, 2, 3}. Himpunan A memiliki anggota himpunan sebanyak 2 anggota dan anggota B memiliki anggota sebanyak 3 anggota. Pemetaan dari A ke B dan pemetaan dari B ke A sesuai dengan penjelasan berikut. 1 Pemetaan dari A ke B Diketahui A = {a, b} dan B = {1, 2, 3}Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B diberikan seperti diagram-diagram fungsi berikut. Dari gambar pemetaan yang mungkin dapat diketahui bahwa banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada 9 cara. 2 Pemetaan dari B ke A Diketahui B = {1, 2, 3} dan A = {a, b}Banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A diberikan seperti diagram-diagram fungsi berikut. Dari gambar pemetaan yang mungkin dapat diketahui bahwa banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A ada 8 cara. Apa Kesimpulannya? Apakah banyaknya pemetaan dari A ke B sama dengan banyaknya pemetaan dari B ke A? Jawabannya adalah TIDAK! Hasil bahasan di atas menunjukkan bahwa hasilnya tidak sama. Namun, hasilnya bisa jadi sama jika banyaknya anggota himpunan A sama dengan anggota himpunan B. Karena banyaknya pemetaan yang mungkin tergantung pada banyaknya anggota pada kedua himpunan. Kesimpulan banyaknya pemetaan dari A ke B tidak sama dengan pemetaan dari B ke A untuk banyak anggota himpunan A dan himpunan B yang berbedaidschooldotnet Baca Juga Contoh-Contoh Kalimat Terbuka dan Tertutup dalam Matematika Mencari banyaknya pemetaan yang mungkin dengan cara menggambar semua kemungkinan seperti cara yang dilakukan pada bahasan di atas tentu tidak dianjurkan. Kebetulan, banyaknya anggota yang dijadikan contoh seperti di atas masih memungkinkan untuk menentukan pemetaan yang mungkin dengan mendaftar. Namun, untuk banyak anggota yang lebih banyak tentu akan menjadi sebuah kendala tersendiri. Tentu saja akan selalu ada solusi untuk sebuah permasalahan. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B atau pemetaan yang mungkin dari B ke A dapat diketahui melalui sebuah rumus cepat. Rumus yang dapat digunakan untuk menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin adalah nBnA dan nAnB sesuai dengan ketentuan berikut. Perhatikan kembali pada contoh soal yang diberikan sebelumnya, yaitu diberikan himpunan A dan himpunan B. DiketahuiA = {a, b} → nA = 2B = {1, 2, 3} → nB = 3 Banyaknya pemetaanDari A ke B = nBnA = 32 = 9Dari B ke A = nAnB = 23 = 8 Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih! Contoh 1 – Mencari Banyaknya Cara Pemetaan yang Mungkin Diketahui P = {2, 4, 6, 8} dan Q = {a, b, c}. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari P ke Q adalah ….A. 81B. 64C. 27D. 12 PembahasanDari soal dapat diketahui banyak anggota P atau nP dan anggota Q atau nQ seperti = {1, 4, 6, 8} → nP = 4Q = {a, b, c} → nQ = 3 Banyaknya pemetaan dari P ke Q = nQnP= 34= 3 × 3 × 3 × 3 = 81 Jadi, banyaknya pemetaan yang mungkin dari P ke Q adalah 81 A Contoh 2 – Mengenali Relasi yang Merupakan Pemetaan Diketahui P = {1, 2, 3, 4} dan Q = {k, l, m, n, o}Himpunan pasangan berurutan dari himpunan P ke himpunan Q yang merupakan pemetaan adalah ….A. {1, k; 2, l; 3, m}B. {1, l; 2, k; 3, n; 4, m}C. {1, k; 1, l; 1, m; 1, n; 1, o}D. {1, k; 2, l; 3, m; 4, n; 4, o} PembahasanPemetaan dapat dikenali dari anggota domain yang tepat satu terpasangkan dengan anggota kodomian. Atau dapat juga dikatakan bahwa semua anggota domain memiliki pasangan dan hanya satu kali dipasangkan. Pada himpunan pasangan berurutan, pemetaan dapat dikenali dari absis nilai yang didepan hanya muncul sekali dan semua himpunan muncul. Untuk himpunan P = {1, 2, 3, 4} semuanya terpasangkan tepat satu kali terdapat pada pilihan B. Pada pilihan A ada 1 anggota yaitu 4 yang tidak terpasangkan, pilihan C memasangkan satu anggota yaitu 1 sebanyak lima kali. Sementara piilihan D memesangkan anggota 4 sebanyak dua kali. Jadi, himpunan pasangan berurutan dari himpunan P ke himpunan Q yang merupakan pemetaan adalah {1, l; 2, k; 3, n; 4, m}.Jawaban D Contoh 3 – Banyak Pemetaan Jika M = {faktor dari 6} dan N = {a, b, c} maka banyak pemetaan atau fungsi dari N ke M adalah ….A. 16B. 27C. 64D. 81 PembahasanLangkah pertama adalah menentukan banyak anggota dari himpunan M dan himpunan M seperti yang dilakukan pada berikut. Banyak anggota M dan NM = {faktor dari 6} = {1, 2, 3, 6} → nM = 4N = {a, b, c} → nN = 3 Menghitung banyak pemetaan dari N ke M= nMnN= 43 = 4×4×4 = 64 cara Jadi, banyak pemetaan atau fungsi dari N ke M adala 64 C Demikianlah ulasan materi mengenai cara menentukan banyak pemetaan yang meliputi ulasan apa itu pemetaan, banyaknya, dan rumus menentukan banyaknya pemetaan beserta caranya Terima kasih sudah mengunjungi idschooldotnet, semoga bermanfaat. Baca Juga Kumpulan Soal UN SMP – Relasi dan Fungsi Dalam tulisan ini, kita akan menentukan banyaknya fungsi surjektif atau fungsi onto yang mungkin dari suatu himpunan A ke himpunan B. Namun, sebelum itu, kita perlu mengetahui definisi fungsi fungsi $fA \rightarrow B$ disebut fungsi surjektif, jika untuk setiap $b \in B$ terdapat $a \in A$ sedemikian sehingga $fa=b$. Dengan kata lain, $f$ disebut fungsi surjektif, jika daerah hasil range $f$ sama dengan kodomainnya, yaitu himpunan $B$.Selain itu, kita perlu tahu bagaimana menentukan banyaknya fungsi yang mungkin dari suatu himpunan ke himpunan lain. Misalkan $A$ dan $B$ adalah dua himpunan berhingga dengan $A=\{ x_1,x_2, \cdots ,x_m \}$ dan $B=\{ y_1,y_2, \cdots ,y_n \}$. Misalkan pula $f$ adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B. $f$ memetakan setiap anggota himpunan A ke tepat satu anggota himpunan $B$. Dalam bahasa yang lebih sederhana, setiap anggota $A$ dipasangkan dengan tepat satu anggota $B$ oleh fungsi $f$.$x_1 \in A$ dapat dipasangkan dengan satu anggota himpunan B, dari n anggota yang ada. $x_2 \in A$ dapat dipasangkan dengan satu dari n anggota himpunan B, termasuk anggota yang telah dipasangkan dengan $x_1$ Pada sebuah fungsi, anggota kodomain dapat berpasangan dengan lebih dari satu anggota domain. Begitu seterusnya sampai pada $x_m \in A$. Berdasarkan aturan perkalian, banyaknya fungsi yang mungkin adalah$$\underbrace{n \times n \times \cdots \times n}_{\text{sebanyak m}} = n^m$$Banyaknya Fungsi Surjektif yang Mungkin dari A ke BKita akan menggunakan prinsip inklusi-eksklusi untuk menentukan banyaknya fungsi surjektif yang mungkin. Untuk $1 \leq i \leq n$, misalkan $c_i$ menyatakan kondisi dimana daerah hasil fungsi tidak memuat $x_i$. $Nc_i$ menyatakan banyaknya fungsi yang tidak memuat $x_i$ pada daerah hasilnya. Fungsi surjektif adalah fungsi yang memuat $x_1$, $x_2$, $\cdots$, dan $x_n$ pada daerah hasilnya, sehingga banyaknya fungsi surjektif dinyatakan dengan $N\bar{c}_1,\bar{c}_2,\bar{c}_3,\cdots,\bar{c}_n$.Banyaknya fungsi dari A ke B adalah $n^m$, sehingga $N=S_0=n^m$. Selanjutnya, kita akan menentukan banyaknya fungsi yang tidak memuat $x_1$ pada daerah hasilnya, yaitu $Nc_1$. Ini sama saja dengan banyaknya fungsi yang mungkin dari $A$ ke $B-\{x_1\}$, yang beranggotakan $n-1$ objek. Banyaknya fungsi adalah $n-1^m$, sehingga $Nc_1=n-1^m$. Dengan cara yang sama, kita peroleh $Nc_1=Nc_2= \cdots =Nc_n=n-1^m$. Akibatnya$$\begin{aligned}S_1 &= Nc_1+Nc_2+ \cdots + Nc_n \\&= n-1^m + n-1^m + \cdots + n-1^m\end{aligned}$$Terlihat jelas, bahwa banyaknya suku pada ruas kanan adalah $n$. Namun, $n$ dapat dipandang sebagai banyaknya cara memilih satu anggota dari himpunan B, yaitu ${n \choose 1}$. Sehingga$$S_1 = nn-1^m = {n \choose 1} n-1^m$$Selanjutnya, kita menentukan banyaknya fungsi yang tidak memuat dua objek tertentu pada daerah hasilnya, misalnya $x_1$ dan $x_2$. $Nc_1c_2$ sama dengan banyaknya fungsi yang mungkin dari himpunan $A$ ke $B-\{x_1,x_2\}$, yaitu $n-2^m$. Secara umum, kita peroleh $Nc_pc_q=n-2^m$, untuk $1 \leq p \leq n$, $1 \leq q \leq n$, dan $p \neq q$.Akibatnya $S_2=n-2^m+n-2^m+ \cdots +n-2^m$. Banyak suku sama dengan banyaknya cara memilih dua objek untuk dikeluarkan dari daerah hasil $f$, yaitu ${n \choose 2}$. Sehingga$$S_2 = {n \choose 2} n-2^m$$Secara umum, untuk $1 \leq k \leq n$, berlaku$$S_k = {n \choose k} n-k^m$$Berdasarkan prinsip inklusi-eksklusi, diperoleh$$\begin{aligned}N\bar{c}_1,\bar{c}_2,\bar{c}_3,\cdots,\bar{c}_n &= S_0-S_1+S_2-\cdots+-1^nS_n \\&= n^m-{n \choose 1} n-1^m+{n \choose 2} n-2^m-\cdots+-1^n{n \choose n} n-n^m \\&= {n \choose 0}n^m-{n \choose 1} n-1^m+{n \choose 2} n-2^m-\cdots+-1^n{n \choose n} n-n^m \\&= \sum^n_{i=0} -1^i{n \choose i} n-i^m\end{aligned}$$Agar lebih mudah diingat, kita dapat menuliskan dalam bentuk$$N\bar{c}_1,\bar{c}_2,\bar{c}_3,\cdots,\bar{c}_n = \sum^n_{i=0} -1^i {n \choose n-i} n-i^m$$Hal ini dibolehkan, mengingat adanya identitas ${n \choose i}={n \choose n-i}$. Jadi, banyaknya fungsi surjektif dari $A$ ke $B$ adalah $\sum^n_{i=0} -1^i {n \choose n-i} n-i^m$.CATATANJika $A=m \leq n=B$, maka tidak ada fungsi surjektif dari $A$ ke $B$ Tahu alasannya?. Meskipun hal ini terjadi, ternyata rumus di atas masih tetap berlaku. Untuk $m \leq n$, kita akan memperoleh $N\bar{c}_1,\bar{c}_2,\bar{c}_3,\cdots,\bar{c}_n=0$.Contoh 1Tentukan banyaknya fungsi surjektif dari himpunan $A$ ke himpunan $B$, jika diketahui $A=5$ dan $B=3$.PembahasanBanyaknya fungsi surjektif $f \ A \rightarrow B$, dengan $A=5$ dan $B=3$ adalah$$\begin{aligned}\sum^3_{i=0} -1^i{3 \choose 3-i} 3-i^5 &= {3 \choose 3} 3^5 - {3 \choose 2} 2^5 + {3 \choose 1} 1^5 - {3 \choose 0} 0^5 \\&= 1 \cdot 243 - 3 \cdot 32 + 3 \cdot 1 - 1 \cdot 0 \\&= 243 - 96 + 3 - 0 \\&= 150\end{aligned}$$Contoh 2Tentukan banyaknya fungsi surjektif $f$ dari $X$ ke $Y$, jika $X=\{a,b,c,d,e,f\}$, $Y=\{1,2,3,4\}$, dan $fa=1$.PembahasanFungsi $f$ harus memetakan $a \in X$ ke $1 \in Y$. $f$ adalah fungsi, sehingga a tidak boleh lagi dipetakan ke anggota $Y$ yang lain. Namun kita boleh memetakan anggota $X$ selain $a$ pada $1 \in Y$. Kita bagi menjadi dua 1 Tidak ada anggota $X$ selain $a$ yang dipetakan ke $1 \in Y$Banyaknya fungsi yang mungkin sama dengan banyaknya fungsi surjektif dari $X-\{a\}=\{b,c,d,e,f\}$ ke $Y-\{1\}=\{2,3,4\}$, yaitu$$\begin{aligned}\sum^3_{i=0} -1^i {3 \choose 3-i} 3-i^5 &= {3 \choose 3} 3^5 - {3 \choose 2} 2^5 + {3 \choose 1} 1^5 - {3 \choose 0} 0^5 \\&= 1 \cdot 243 - 3 \cdot 32 + 3 \cdot 1 - 1 \cdot 0 \\&= 243 - 96 + 3 - 0 \\&= 150\end{aligned}$$KASUS 2 Ada anggota $X$ selain $a$ yang dipetakan ke $1 \in Y$Banyaknya fungsi yang mungkin sama dengan banyaknya fungsi surjektif dari $X-\{a\}=\{b,c,d,e,f\}$ ke $Y=\{1,2,3,4\}$, yaitu$$\begin{aligned}\sum^4_{i=0} -1^i {4 \choose 4-i} 4-i^5 &= {4 \choose 4} 4^5 - {4 \choose 3} 3^5 + {4 \choose 2} 2^5 - {4 \choose 1} 1^5 + {4 \choose 0} 0^5 \\&= 1 \cdot 1024 - 4 \cdot 243 + 6 \cdot 32 - 4 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\&= 1024 - 972 + 192 - 4 + 0 \\&= 240\end{aligned}$$Jadi, banyaknya fungsi surjektif $fX \rightarrow Y$ dengan $fa=1$ adalah $150+240=390$.Sebagai penutup, saya akan memberikan soal latihan untuk himpunan $X=\{a,b,c,d,e,f\}$ dan $Y=\{1,2,3,4\}$. Tentukan banyaknya fungsi surjektif $fX \rightarrow Y$, jika diketahui $fa=1$ dan $fb=2$. Dalam matematika, jika kita menyinggung topik tentang fungsi, pastilah komposisi fungsi tidak akan terlupa untuk dibahas. Komposisi fungsi adalah topik yang umum dipelajari pada mata kuliah Kalkulus I. Selain di jenjang kuliah, umumnya topik komposisi fungsi juga dipelajari pada kelas 10 SMA. Hanya saja, jika dibandingkan dengan jenjang SMA, topik komposisi fungsi pada jenjang perkuliahan terasa lebih sulit. Bisa jadi, hal tersebut dikarenakan topik komposisi fungsi pada jenjang perkuliahan sering melibatkan fungsi piecewise piecewise function. Di bawah ini adalah contoh fungsi piecewise. $fx = \begin{cases} x^2 & \text{,untuk } x\leq 0 \\ \frac{100-x}{100} & \text{,untuk } 0 1 ~~ x \in \mathbb{R} \}$. Langkah 4. Selidiki $\text{Domain}g$! Diketahui $ gx = \begin{cases} \sqrt{x} & \text{,untuk } x\geq 0 \\ & \\ \displaystyle \frac{1-x}{x} & \text{,untuk } x < 0 \end{cases}$. Fungsi $g$ tersebut merupakan fungsi piecewise. Untuk mempermudah penyebutan, fungsi piecewise tersebut kita pecah sebagai fungsi $g_1$ dan $g_2$ sebagai berikut. $g_1x = \sqrt{x}$, dan $g_2x = \displaystyle \frac{1-x}{x}$. Sehingga dengan demikian $ gx = \begin{cases} g_1x & \text{,untuk } x\geq 0 \\ & \\ g_2x & \text{,untuk } x < 0 \end{cases}$. Selanjutnya, kita akan menyelidiki fungsi $g_1$ dan $g_2$, seperti apakah sebetulnya mereka. 1. Selidik fungsi $g_1$. Diketahui $g_1x = \sqrt{x}$ dengan domainnya adalah $x\geq 0$. Sesuai definisi di atas, fungsi $g_1$ terdefinisi dengan baik. Untuk setiap $x\geq 0$, nilai $g_1x$ akan selalu $\geq 0$. 2. Selidik fungsi $g_2$. Diketahui $g_2x = \displaystyle \frac{1-x}{x} = \frac{1}{x} - 1$ dengan domainnya adalah $x < 0$. Sesuai definisi di atas, fungsi $g_2$ terdefinisi dengan baik. Untuk setiap $x < 0$, nilai $g_2x$ akan selalu $< 0$. Dari hasil penyelidikan di atas, diketahui bahwa fungsi $g_1$ dan $g_2$ terdefinisi dengan baik. Jadi, dapat disimpulkan bahwa $\text{Domain}g = \mathbb{R}$. Langkah 5. Selidiki apakah $\text{Range}f \subseteq \text{Domain}g$. Dari Langkah 3 di atas, kita mengetahui bahwa $\text{Range}f = -\infty, 1 \cup 1, \infty$. Dari Langkah 4 di atas, kita mengetahui bahwa $\text{Domain}g = \mathbb{R}$. Perhatikan bahwa $\text{Range}f = -\infty, 1 \cup 1, \infty = \mathbb{R} - \{1\}$. Jelas bahwa $\mathbb{R} - \{1\} \subset \mathbb{R}$. Dengan demikian berlaku $\text{Range}f \subset \text{Domain}g$. Dengan kata lain komposisi fungsi $g \circ f$ dapat dilakukan. Langkah 6. Konstruksi $\text{Domain}g \circ f$. Nah, bagian ini yang umumnya paling sering membuat bingung mahasiswa yang baru mempelajari Kalkulus I. Mari kita kerjakan secara pelan-pelan dan hati-hati supaya tidak salah. D Langkah 1 Karena yang "misi" kita adalah mengkonstruksi $\text{Domain}g \circ f$, maka pertama-tama kita harus mengamati fungsi $g$. Sebaliknya, jika "misi" kita adalah mengkonstruksi $\text{Domain}f \circ g$, maka pertama-tama kita harus mengamati fungsi $f$. Kembali ke "misi" utama kita sesuai pada soal. Kita akan mengkonstruksi $\text{Domain}g \circ f$. Oleh sebab itu, pertama-tama kita harus mengamati fungsi $g$. Ini adalah fungsi $g$ yang dimaksud. $gx = \begin{cases} g_1x = \sqrt{x} & \text{,untuk } x\geq 0 \\ & \\ \displaystyle g_2x = \frac{1-x}{x} & \text{,untuk } x < 0 \end{cases}$. Langkah 2 Selanjutnya, ajukan pertanyaan berikut. Apakah fungsi $g$ adalah fungsi piecewise? Jawabannya jelas adalah YA. Fungsi $g$ merupakan fungsi piecewise dengan 2 subfungsi, yaitu $g_1$ dan $g_2$. Selanjutnya, kita akan menyelidiki domain-domain subfungsi dari fungsi $g$, yaitu $g_1$ dan $g_2$. Langkah 3 Kita mulai dengan menyelidiki domain dari fungsi $g_1$. $g_1x = \sqrt{x} ~\text{, untuk } x\geq 0$ Ajukan pertanyaan ini. Untuk $\alpha \in \text{Domain}f$ apa sajakah yang menyebabkan $f\alpha \geq 0$? Perhatikan bahwa syarat kondisi $f\alpha \geq 0$ adalah sesuai dengan syarat domain $g_1$ yaitu $x \geq 0$. Kita lihat lagi grafik fungsi $f$ berikut. Perhatikan bagian kurva yang berwarna merah. Dari bagian yang berwarna merah di atas terlihat bahwa jika $\alpha$ berada di interval $-\infty, -2$ dan $[3, \infty$ akan menyebabkan $f\alpha \geq 0$. Karena $\displaystyle fx = \frac{x-3}{x+2}$ bukan fungsi piecewise, maka dengan demikian, $\displaystyle g_1 \circ fx = g_1fx = \sqrt{\frac{x-3}{x+2}}$ berlaku dan terdefinisi dengan baik jika $x$ berada di interval $-\infty, -2$ dan $[3, \infty$. Langkah 4 Kita lanjut dengan menyelidiki domain dari fungsi $g_2$. $\displaystyle g_2x = \frac{1-x}{x} = \frac{1}{x} - 1 ~\text{, untuk } x < 0$ Ajukan pertanyaan ini. Untuk $\alpha \in \text{Domain}f$ apa sajakah yang menyebabkan $f\alpha < 0$? Perhatikan bahwa syarat kondisi $f\alpha < 0$ adalah sesuai dengan syarat domain $g_2$ yaitu $x < 0$. Kita lihat lagi grafik fungsi $f$ ini. Perhatikan bagian kurva yang berwarna ungu. Dari bagian yang berwarna ungu di atas terlihat bahwa jika $\alpha$ berada di interval $-2, 3$ akan menyebabkan $f\alpha < 0$. Karena $\displaystyle fx = \frac{x-3}{x+2}$ bukan fungsi piecewise, maka dengan demikian, $\displaystyle g_2 \circ fx = g_2fx = \frac{1}{\left\frac{x-3}{x+2}\right} - 1 = \frac{5}{x-3}$ berlaku dan terdefinisi dengan baik jika $x$ berada di interval $-2, 3$. Langkah 7. Penyatuan Hasil. Dari Langkah 6 di atas kita mendapatkan hasil berikut. $\displaystyle g_1 \circ fx = g_1fx = \sqrt{\frac{x-3}{x+2}}$ berlaku dan terdefinisi dengan baik jika $x$ berada di interval $-\infty, -2$ dan $[3, \infty$. $\displaystyle g_2 \circ fx = g_2fx = \frac{1}{\left\frac{x-3}{x+2}\right} - 1 = \frac{5}{x-3}$ berlaku dan terdefinisi dengan baik jika $x$ berada di interval $-2, 3$. Dari hasil di atas, $g \circ f$ beserta domainnya dapat dibentuk sebagaimana berikut. $g\circ fx = \begin{cases} \displaystyle \sqrt{\frac{x-3}{x+2}} & \text{,untuk } x \in -\infty, -2 ~\text{ alias } x < -2 \\ \text{tidak terdefinisi} & \text{,untuk } x = -2 \\ & \\ \displaystyle \frac{5}{x-3} & \text{,untuk } x \in -2,3 ~\text{ alias } -2 < x < 3 \\ & \\ \displaystyle \sqrt{\frac{x-3}{x+2}} & \text{,untuk } x \in [3, \infty ~\text{ alias } x \geq 3 \end{cases}$

tentukan banyak fungsi yang mungkin